Bem vindo

A matemática é a melhor linguagem inventada pela Humanidade para descrever a natureza. Com a possibilidade de descrevê-la, o ser humano passa a dominá-la e transformá-la de maneira a desenvolver um modo de vida sem precedentes - a tal ponto, muitas vezes, que a própria realidade chega a superar a ficção. Nós, que cultivamos desde o nascimento um modo de vida sedentário, cuja manutenção se vale cada vez mais da tecnologia, temos uma imensa dívida de gratidão com todos os que contribuiram com seu desenvolvimento e divulgação.

segunda-feira, 11 de julho de 2011

A unidade e a fração - existe diferença?

Uma das maiores dificuldades que tenho observado entre os alunos de todas as séries é a de operar com frações. De fato, as operações com frações, do ponto de vista histórico, sempre surgem depois que as operações com números inteiros já foram bem concebidas e estabelecidas. Isso mostra que efetuar as operações aritméticas com os outros tipos de números racionais demanda maior abstração, independentemente do lugar ou época em que se concebe o significado de tais operações.
De qualquer maneira, é importante observar que tanto faz o tipo de número com que se esteja efetuando cálculos aritméticos, as operações jamais se perdem de seus significados, quaisquer que sejam os tipos de números entre que elas se coloquem. Assim, do ponto de vista operacional, tanto faz se os números são inteiros (unidades inteiras) ou não (frações de unidades).

Soma e subtração

Ninguém duvida do fato aritmético de que 1 + 1 seja 2, por exemplo. Mas, mesmo quando muito bem compreendido o significado das frações 1/2 e 1/3, por exemplo, não faltam pessoas que não entendam e também não aceitem o ritual que se emprega para levar a cabo o resultado de alguma operação entre esses dois números (pasmem, muitos dos leitores: as frações 1/2 e 1/3 representam um número cada uma, porquanto representam duas quantidades diferentes). Ainda em tempo, observe o significado de cada uma dessas frações:


A figura anterior disponibiliza ótima ilustração para entender o que ocorre quando queremos efetuar alguma operação aritmética entre as quantidades representadas, que foram citadas apenas – para reiterar – a título de exemplo.
Se, entre os números, existem alguns tipos que são concebidos mais facilmente do que outros, entre as operações não é diferente. A adição é a operação mais fácil de ser concebida, disparada entre as demais. Assim, verificar como proceder com essa operação entre frações torna mais fácil a compreensão dos porquês de cada um dos métodos operacionais entre números “quebrados”.

Primeiramente, a adição não admite que se efetue “junções” entre partes de tamanhos diferentes. É o problema com que nos defrontamos quando estamos diante de uma adição como 1/2 + 1/3, por exemplo. Ora, se não é possível adicionar esses valores, o que fazer então? A solução é dividir os inteiros referência novamente de tal forma que as partes dessa nova divisão contenha as partes de interesse, ou seja, 1/2 e 1/3. Assim, devemos ter o seguinte:


Note que agora os inteiros referência estão divididos em seis partes cada um. As partes da nova divisão contêm as partes que nos interessavam: onde tínhamos1/2, agora temos 3/6 e, onde tínhamos 1/3, agora temos 2/6. É importante observar, ainda, que 1/2 = 3/6 e 1/3 = 2/6. Sendo assim, efetuar a adição 1/2 + 1/3 é o mesmo que efetuar a adição 3/6 + 2/6, com a diferença de que a primeira não é possível ser efetuada e a segunda, sim, porque se trata de uma adição entre partes de tamanhos iguais. Para se efetuar a subtração desses valores, procedemos da mesma forma, já que a subtração também não admite que se opere com partes de tamanhos diferentes. Assim, teríamos 3/6 – 2/6 = 1/6.
A regra para obtenção de soma e subtração entre frações enuncia que se deva proceder de acordo com os seguintes passos:

1)      Obter o mínimo múltiplo comum entre os denominadores:

m.m.c.(2, 3) = 6 (novo número de partes em que o inteiro deve ser dividido para que as frações tenham o mesmo “tamanho”).

            2) Dividir o m.m.c. encontrado pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador para efetuar os devidos ajustes nas frações entre as quais a soma ou a subtração não era possível.




Multiplicação

O significado da multiplicação consiste em somar determinado valor com ele mesmo um determinado número de vezes. Assim, se multiplicarmos 3 por 6, por exemplo, teremos 18 como resultado, pois 6 + 6 + 6 = 18. Uma situação prática que pode ilustrar bem isso pode ser uma em que temos, por exemplo, 3 cestos onde devemos colocar 6 chocolates em cada um. No total, devemos ter 18 chocolates.
Mas como seria se precisássemos multiplicar 2/3 por 4/5, por exemplo? Bem, devemos nos lembrar, primeiramente, que o significado da operação não se perde. Assim, imaginando uma situação prática que mantenha fidelidade ao significado da operação, podemos considerar que temos uma parte de chocolate que deve ser distribuída em partes iguais às partes de um cesto, da mesma forma como fizemos anteriormente. Ilustrando a situação, teríamos o seguinte:


Para preenchermos todo o cesto com as partes consideradas (2/3) do chocolate, devemos dividí-lo em outras cinco partes iguais de forma que a fração considerada do chocolate possa ser distribuída igualmente entre todas as partes do cesto. Assim, teremos a mesma fração de chocolate representada por 10/15 (lembre-se de que 10/15 = 2/3). O chocolate ficará da seguinte maneira:


No final, deve-se distribuir as partes destacadas por hachura, uma em cada parte do cesto. A figura a seguir ilustra o resultado.




A quantidade de vezes que pretendemos somar a fração 2/15 é 4. Assim, teremos a soma 2/15 + 2/15 + 2/15 + 2/15 = 8/15, de onde concluímos que (2/3).(4/5) = 8/15. A regra geral que orienta sobre como se deve proceder em multiplicações entre frações enuncia que, dadas duas frações a/b e c/d (com b e d diferentes de zero), obtém-se o produto entre elas de acordo com a seguinte igualdade: (a/b).(c/d) = (a.c)/(b.d).

Divisão

Quanto à divisão, podemos dispor de um dispositivo algébrico bastante simples, levando-se em consideração uma importante propriedade da divisão: a de que o produto entre o quociente e o divisor é o dividendo (no caso de uma divisão exata). Assim, na conta 18 dividido por 6, por exemplo, obtemos o quociente 3 (18 : 6 = 3) e, se fizermos 3 vezes 6, obtemos 18.
De acordo com essa idéia, como efetuar a divisão entre 3/4 e2/5, por exemplo? Se o significado de uma operação não se perde, o mesmo acontece com suas propriedades. Logo, chamando de x o resultado da divisão a pouco proposta, teremos, em termos algébricos, a seguinte sentença: (2/4) : (2/5) = x. Conforme foi esclarecido no parágrafo anterior com relação à propriedade da divisão, sabemos que a seguinte sentença decorre da anterior: (2/5) . x = (3/4). Para “isolar” o x na sentença anterior, devemos multiplicar ambos os membros da sentença por (5/2) (inverso de 2/5), de onde se obtém (5/2).(2/5).x = (3/4).(5/2), ou simplesmente x = (3/4).(5/2), de onde se obtém x = 15/8. Assim, pode-se enunciar a regra de que, para encontrar o resultado de uma divisão entre duas frações, basta manter a primeira e multiplicá-la pelo inverso da segunda.

Conclusão

Ainda que as regras de cálculo soem frequentemente como mera chateação acadêmica, na realidade elas existem para facilitar de modo absolutamente efetivo a operação entre determinadas quantidades. Nos chamados “rincões acadêmicos”, costuma-se dizer: “a aprendizagem é como uma digestão: primeiro, é necessário engolir, depois, se digere”. Eu, por outro lado, acredito piamente em mais ainda: que o bom aprendizado deve estar subordinado a um processo de ruminação, em que o produto fica mais bem elaborado cada vez que se tem a oportunidade de digerir o conteúdo novamente.